1.3.6.5.1: Das Skalarprodukt
Das Skalarprodukt ist linear: Wird einer der beiden
Vektoren mit einem Faktor multipliziert, wird auch der
Ähnlichkeitswert mit diesem Faktor multipliziert. Kann ein Vektor
als Summe zweier Vektoren dargestellt werden, ist der
Ähnlichkeitswert gleich der Summe der Skalarprodukte der einzelnen
Vektoren mit dem Anfragevektor.
Die Ähnlichkeit, die ein Vektor zu sich selbst hat, ist nach der
Definition des Skalarprodukts das Quadrat seiner euklidischen Länge.
Beim Skalarprodukt liegen die
Vektoren gleicher Ähnlichkeit auf einer Hyperebene, die parallel zu derjenigen ist, die
senkrecht auf dem Vektor steht. Im zweidimensionalen Fall ist das
eine Gerade, die rechtwinklig zum Anfragevektor verläuft.
Das lässt sich folgendermaßen einsehen:
Sei
(a,b)
der Referenzvektor, zu dem der Vektor
(x,y)
die Ähnlichkeit
c
habe, dann gilt
und folglich
| y=- |
| a |
 |
| b |
|
x+ |
| c |
|
| b |
|
Da der Vektor
(a,b)
die Steigung
| b |
|
| a |
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hat, bildet diese Gerade mit dem Referenzvektor einen
rechten Winkel. Für verschiedene Werte von
c
ergeben sich parallele Geraden (siehe Abbildung 33
).
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Abbildung 33: Kurven gleicher Ähnlichkeit beim Skalarprodukt in der Ebene